概率论与数理统计

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概率论与数理统计

八套真题错题中不熟悉的知识点记录

文章中放的链接是根据有关知识点在网上找到的较好的回答,仅供参考。

1.最小次序统计量和最大次序统计量

在于对定义的理解:

设 X1,X2, …, Xn是取自总体X的样本,X(i) 称为该样本的第i个次序统计量,它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。从小到大排序为x(1),x(2), …,x(n),则称X(1),X(2), …,X(n)为次序统计量。

不仅要理解定义,还要学会灵活运用。这个容易穿插在题目中,好几次没看出来了。

链接推荐:次序统计量 - 上海交通大学数学系.pdf (book118.com)

2.相合估计的验证

知乎上的一个简明的回答:

相合性的证明很多都是切比雪夫不等式加上求极限就能证明出来。

如何证明相合估计量的这个性质? - 知乎 (zhihu.com)

3.显著性水平

说白也就是参数估计和假设检验的应用题,靠加强对应用题目分析的能力

4.独立和相关

看了一圈文章,自己动手,丰衣足食。

独立性:

P(X,Y)=P(X)P(Y);F(x,y)=FX(x)FY(y);f(x,y)=fX(x)fY(y);

上述式子均可得出X和Y相互独立。(充要条件)

注:P(AB)=0有两种情况1)A和B互斥。2)A和B独立时,PA=0或PB=0;

相关性:

E(XY)=E(x)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);

上述式子可推出X和Y不相关。(充要条件)

独立和不相关:

1)独立一定不相关,不相关不一定独立。

2)相关系数为0(协方差为0或者DXDY为0),X和Y不相关。

3)对于二维正态随机变量,X与Y相互独立的充要条件是相关系数为0,并且它们的相互独立和不相关是等价的。

5.密度变换公式,卷积公式,gamma函数,泊松公式

查找前面的知识点的时候注意到的公式,多记公式有利于加强做题速度。

6.大数定律

概率论——大数定律与中心极限定理 - 知乎 (zhihu.com)

定律的定义和条件。

7.概率和事件

在一定条件下,一次发生的事情为必然事件,必然事件的概率为1;但是概率为1的不一定是必然事件。

P(AB)=0不能推出A和B互不相容。

扩展:概率和事件,概率不能推出事件。为什么说“概率得不出事件”? - 知乎 (zhihu.com)

8.随机变量的期望方差,样本均值方差,协方差

Cov(x,y)=E((X-EX)·(Y-EY));也就是Cov(x,x)=DX;

XY相互独立时,D(XY)=DX·DY + DX·(EY)^2 + DY·(EX)^2;

注意这些概念的定义计算公式

9.无偏性,有效性,相合性

(相合性,依概率收敛,一致估计量基本上属于同种定义)

照例放几篇文章:

参数估计的无偏性和相合性有什么区别? - 知乎 (zhihu.com)

概率论复习笔记(9)——几种收敛的关系 - 知乎 (zhihu.com)

矩估计、极大似然估计,相合估计、无偏估计的复习整理 - 知乎 (zhihu.com)

10基础定义

一个函数是概率密度函数(PDF)的条件包括:

  1. 非负性:对于所有的x,f(x) ≥ 0。
  2. 总体积为1:∫ f(x) dx = 1,即函数在整个定义域上的积分等于1。
  3. 可积性:即f(x)在定义域上是可积的,也就是说它的积分存在且有限。

分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)的特点包括:

  1. 单调性:CDF是单调非减的,即随着自变量增加,CDF的取值不会减少。
  2. 有界性:CDF的取值范围在[0, 1]之间,即累积概率的取值范围是介于0和1之间的。
  3. 右连续性:CDF在每个点上右连续,即当自变量趋近某一数值时,CDF的取值趋近于该数值。
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